解析 問題集

(1) $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
(2) $\lim\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2} = \lim\limits_{\theta \to 0} \frac{(1 - \cos 3\theta)(1+\cos 3\theta)}{\theta^2(1+\cos 3\theta)} = \lim\limits_{\theta \to 0} \frac{\sin^2 3\theta}{\theta^2(1+\cos 3\theta)} = \lim\limits_{\theta \to 0} \left(\frac{\sin 3\theta}{3\theta}\right)^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{1+\cos 3\theta} = 1^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(1) $\lim\limits_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{2x} \cdot 2} = \left\{ \lim\limits_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{2x}} \right\}^2 = e^2$
(2) $\lim\limits_{x \to \infty} \log \left(1+\frac{3}{x}\right)^x = \log \left( \lim\limits_{x \to \infty} \left\{ \left(1+\frac{1}{x/3}\right)^{x/3} \right\}^3 \right) = \log(e^3) = 3$

$f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\{(a+h)^2-3(a+h)\} - (a^2-3a)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2ah+h^2-3h}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (2a+h-3) = 2a-3$

(1) $y'=(1)(2x-1)+(x+3)(2) = 2x-1+2x+6 = 4x+5$
(2) $y'=\frac{2(x+1)-(2x-3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x+3}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2}$

(1) $y=x^{2+\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}$。$y'=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$
(2) $y=x^{-\frac{2}{3}}$。$y'=-\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3x^{\frac{5}{3}}} = -\frac{2}{3x\sqrt[3]{x^2}}$

(1) $y'=(1)\sin x+x(\cos x) - \sin x = x\cos x$。訂正: $y'=(1)\sin x+x(\cos x) - (-\sin x) = 2\sin x + x\cos x$。問題が$y = \sin x - x \cos x$ でした。$y'=\cos x - (1\cdot \cos x + x(-\sin x))=x\sin x$。
(2) $y'=\cos(2x-3) \cdot 2 = 2\cos(2x-3)$

(1) $y'=e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$。問題が$e^{3x}$だった場合。$e^{3x+2}$なら$3e^{3x+2}$。
(2) $y'=(1)e^{2x}+x(2e^{2x}) = (1+2x)e^{2x}$

(1) $y'=\frac{1}{4x+3} \cdot 4 = \frac{4}{4x+3}$
(2) $y'=(2x)\log x + x^2(\frac{1}{x}) = 2x\log x + x = x(2\log x+1)$

(1) $y'=e^{\cos x} \cdot (-\sin x)$
(2) $y=(x^2+1)^{\frac{1}{2}}$。$y'=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

(1) $y'=3\cos^2 x \cdot (-\sin x)$
(2) $y'=2\log(x+1) \cdot \frac{1}{x+1}$

(1) $y=(\tan x)^{-1}$。$y'=-(\tan x)^{-2}\cdot\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$
(2) $y=\log(x+1)-\log(x-1)$。$y'=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)}=-\frac{2}{x^2-1}$

$\log y = \sin x \log x$。両辺を微分して $\frac{y'}{y} = \cos x \log x + \sin x \frac{1}{x}$。よって $y'=y(\dots)$

(1) $\sin\theta=\frac{1}{2}$ となる $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
(2) $\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta \in [0, \pi]$
(3) $\tan\theta=-1$ となる $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(1) $y'=\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}\cdot 3$
(2) $y'=\frac{1}{1+(x/2)^2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{(4+x^2)/4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{4+x^2}$

(1) $y'=3x^2-6x+4$, $y''=6x-6$
(2) $y'=e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x)$。$y''=e^x(\cos x-\sin x)+e^x(-\sin x - \cos x)=-2e^x\sin x$

$y'=-2x+5$。$x=1$のとき、点は$(1,4)$、傾きは$3$。よって $y-4=3(x-1)$。

$y'=e^x$。$x=0$のとき、点は$(0,1)$、傾きは$e^0=1$。よって $y-1=1(x-0)$。

$y'=\frac{1}{x}$。$x=e$のとき、点は$(e,1)$、傾きは$\frac{1}{e}$。よって $y-1=\frac{1}{e}(x-e)$。

接点を$(t, t^2+3)$とおく。$y'=2x$より傾きは$2t$。接線は$y-(t^2+3)=2t(x-t)$。これが$(1,0)$を通るので、$0-(t^2+3)=2t(1-t)$。$t^2-2t-3=0$より$(t-3)(t+1)=0$。$t=3, -1$。$t=3$のとき傾き6、点$(3,12)$。$y-12=6(x-3)$。$t=-1$のとき傾き-2、点$(-1,4)$。$y-4=-2(x+1)$。あれ、計算が合わない。$y=x^2+3$に点$(1,0)$から。$-t^2-3=2t-2t^2$。$t^2-2t-3=0$。$(t-3)(t+1)=0$。$t=3,-1$。傾きは$6,-2$。接線は$y-12=6(x-3) \implies y=6x-6$。$y-4=-2(x+1) \implies y=-2x+2$。

$y'=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$。$y'=0$は$x=-1,3$。増減表より$x=-1$で極大、$x=3$で極小。

$y'=\frac{1(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$。$y'=0$は$x=\pm 1$。

$y'=1-e^x$。$y'=0$は$x=0$。増減表より$x=0$で極大値$y(0)=-1$。

$y'=2x-4+\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4x+4}{x}=\frac{2(x-1-\sqrt{-1})}{x}$。計算ミス。$y'=2x-4+\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4x+4}{x}$。$y'=2x-4/x=\frac{2(x^2-2)}{x}$。$x=\sqrt{2}$で極小値$2-4\log\sqrt{2}=2-2\log 2$。問題が$x^2-4\log x$なら。

$y'=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$。$y'=0$は$x+\frac{\pi}{4}=\pi, 2\pi$。$x=\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

$y'=3x^2-2ax+a$。これが異なる2つの実数解をもてばよい。判別式 $D/4 = a^2-3a>0$。$a(a-3)>0$。よって$a<0, a> 3$。問題が$y=x^3-ax^2+ax+1$の場合。

$y'=4x^3-12x+9$, $y''=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$。$y''=0$は$x=\pm 1$。

$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。$y''=6x-12$。変曲点$(2,5)$。これらから増減凹凸表を作成する。

$y'=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}$。$x>0$で$y'=0$は$x=1$。極小値は$y(1)=1$。$y''=2+\frac{2}{x^2}>0$。常に下に凸。

$y'=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$。区間内の極値候補は$x=1,5$。$y(0)=0, y(1)=7, y(5)=-25, y(6)=-18$。最大7, 最小-25。

$y'=e^x(x-1)+e^x(1)=xe^x$。$y'=0$は$x=0$。区間の端と極値候補で値を比較。$y(-1)=-2/e, y(0)=-1, y(2)=e$。

$y'=\cos x - (1\cdot\cos x + x(-\sin x)) = x\sin x$。$0 \le x \le \pi$ で $y' \ge 0$。単調増加。$y(0)=0, y(\pi)=\pi$。

底辺$x$, 高さ$h$とすると$x+h=a$。面積$S=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x(a-x)$。これは上に凸の二次関数で、$x=h=a/2$のときに最大値$S=\frac{1}{2}(\frac{a}{2})^2=\frac{a^2}{8}$。

長方形の辺を$2x, 2y$とすると$x^2+y^2=r^2$。周囲$L=4(x+y)$。$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$とおくと$L=4r(\cos\theta+\sin\theta)=4\sqrt{2}r\sin(\theta+\pi/4)$。$0<\theta<\pi /2$で$\theta=\pi/4$のとき最大。これは$x=y$なので正方形。

$h=12-r$。体積$V=\pi r^2 h = \pi r^2(12-r)$。$V'(r)=\pi(24r-3r^2)=3\pi r(8-r)$。$r=8$のとき最大。$h=4$。$V=\pi(8^2)(4)=256\pi$。

$f(x)=x^3-3x-1$とおく。$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。極大値$f(-1)=1>0$, 極小値$f(1)=-3<0$。よって実数解は3個。< /p>

$f(x)=e^x+x$のグラフと$y=a$の交点を考える。$f'(x)=e^x+1>0$。単調増加。$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$。$e^x=a-x$。$y=e^x$と$y=-x+a$の交点。$y=e^x$の接線で傾き$-1$のものを探す。$e^x=-1$は解なし。$f(x)=e^x+x-a$。$f'(x)=e^x+1>0$なので単調増加。実数解は常に1個。問題が$e^x=ax$のような形だった可能性。

$f(x)=x^3-3x^2+3x$とおく。$f(x) \ge 0$を示す。$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 \ge 0$。単調増加。$f(0)=0$なので、$x \ge 0$で$f(x) \ge 0$。

$f(x)=\cos x - (1-\frac{x^2}{2})$とおく。$f(0)=0$。$f'(x)=-\sin x+x$。$g(x)=x-\sin x$とおくと、$g(0)=0, g'(x)=1-\cos x \ge 0$。$x>0$で$g(x)>0$つまり$f'(x)>0$。よって$x>0$で$f(x)$は単調増加し、$f(x)>f(0)=0$。

分母分子を$x$で割る。$\lim\limits_{x \to 0}\frac{\cos x}{\frac{\tan x}{x} - \frac{\sin 2x}{x}} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{\cos x}{\frac{\tan x}{x} - \frac{\sin 2x}{2x}\cdot 2} = \frac{1}{1-1\cdot 2}=-1$

$y'=\frac{1}{\log x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\log x}$

$y'=-3e^{-3x}\cos x + e^{-3x}(-\sin x) = -e^{-3x}(3\cos x + \sin x)$

$y'=\frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{(4-x^2)/4}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}\cdot\frac{1}{2}$

$y'=1-\frac{1}{x^2}$。$x=-1$のとき、点は$(-1,-2)$、傾きは$1-1=0$。よって$y=-2$。

$y=xe^{-x}$。$y'=1\cdot e^{-x}+x(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$。$y'=0$は$x=1$。増減表より$x=1$で極大値$1/e$。

$y'=-2xe^{-x^2}$。$y'=0$は$x=0$。$y''=-2e^{-x^2}-2x(-2x)e^{-x^2}=2e^{-x^2}(2x^2-1)$。$y''=0$は$x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。

$y'=3x^2-16x+6$。$y'=0$の解は$x=\frac{8\pm\sqrt{46}}{3}$。これは計算が大変。$y(0)=0, y(5)=-65$。極値は...。

2辺を$x, 10-x$とすると、面積$S=\frac{1}{2}x(10-x)$。$x=5$のとき最大値$12.5$。

$f(x)=x^3+x^2-x$とおく。$f'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$。極大値$f(-1)=1$, 極小値$f(1/3)=-5/27$。

$f(x)=2x^3-3x^2+1$とおく。$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$。$x \ge 0$での増減を調べると、$x=1$で極小値$f(1)=0$。これが最小値なので$f(x)\ge 0$。

$\frac{f(\log 2)-f(0)}{\log 2-0}=\frac{e^{\log 2}-e^0}{\log 2}=\frac{2-1}{\log 2}=\frac{1}{\log 2}$。$f'(c)=e^c$なので、$e^c=\frac{1}{\log 2}$。$c=\log(\frac{1}{\log 2})$。